La matematica al tempo del virus (settimana 5)

A partire da questo aggiornamento settimanale ho deciso di riunire le due serie che precedentemente tenevo separate (“La matematica” e “Dentro la scatola”), (*) perché mi pare che vi siano considerazioni interessanti che emergono solo considerandole assieme.

30 marzo: continua la discesa della curva di accrescimento del contagio: i 4.050 nuovi casi di oggi sono il valore più basso registrato dal 18 marzo; domani facilmente rimbalzerà verso l’alto, ma conferma il trend di rallentamento con il flesso alle nostre spalle. Registriamo oggi anche il record di guarigioni (1.560) ma anche i decessi sono stati parecchi, ben 812; eseguiti anche oggi 23.000 tamponi, evidentemente la volontà di aumentare il numero dei tamponi si scontra con difficoltà operative ben comprensibili. Le nuove Terapie Intensive sono un po’ più di ieri (75) ma anch’esse si confermano in deciso calo. L’analisi di flusso conferma che ormai da tre giorni si è verificata un’altra discontinuità nei coefficienti di trasferimento con un’ulteriore diminuzione di Ricoveri a favore delle Quarantene; questo richiederà un nuovo frazionamento del modello che opereremo in serata.

29 marzo: continua la serie incoraggiante. I nuovi contagi di oggi sono stati 5.207, perfettamente in linea con la curva che stiamo seguendo (a titolo puramente di curiosità, la curva matematica ad oggi prevedeva 97.689 contagiati mentre il dato reale ci dice 97.702, un errore di sole 13 unità !). Purtroppo continuano ad essere elevati i decessi (oggi 756, superiori alle 646 guarigioni. Complice la domenica (forse) siamo ritornati ai 24.000 tamponi giornalieri dai 33.000 dei giorni scorsi. Infine, oggi sono stati solo 50 i nuovi pazienti ricoverati in T.I., il livello giornaliero più basso dall’inizio del mese.

28 marzo: anche i dati odierni sono in linea con l’ultima curva aggiornata ad inizio settimana scorsa, facendo sperare che, lentamente, i nuovi contagi comincino a rallentare, anche se sono possibili oscillazioni; il prolungarsi della fase di linearità nella curva delle Terapie Intensive costringe però a ritoccare leggermente il massimo che ora vale 4.500 pazienti. Infine sembra rallentare la percentuale di tamponi positivi, ma la spiegazione più probabile è che semplicemente se ne fanno di più: siamo infatti passati da circa 24.000 tamponi giornalieri a 33-34.000; ad oggi ne sono stati eseguiti circa mezzo milione, ma non è possibile sapere quanti siano i pazienti, dato che alcuni ne richiedono due o anche tre.

Aggiornamento 27 marzo 2020

La settimana che si è appena conclusa è stata alquanto altalenante: partita malissimo, si è poi conclusa su note meno tragiche.

Le due curve logistiche che caratterizzano nuovi contagi e ricoveri in T.I. sono attualmente queste:

e come si vede prevedono i seguenti dati chiave:

  • Numero massimo di contagi = 160.000; massimo giornaliero = 27 marzo
  • Numero massimo di T.I. = 4.400; massimo giornaliero = 17 marzo

Purtroppo le oscillazioni giornaliere sono ancora piuttosto marcate e obbligano ancora a tenere la massima prudenza nelle valutazioni: già due volte abbiamo sperato di aver raggiunto il massimo per poi restare delusi, dunque restiamo a casa!

Ma all’inizio della settimana è successo anche qualcos’altro.

Qualcuno ricorderà che ho tentato di sviluppare una semplice analisi di flusso per capire come i pazienti passavano da uno stato all’altro nel grafo a sei nodi che rappresenta il sistema epidemia. Fino al 20 marzo il sistema era rappresentabile così:

Fino a quella data (rappresentata dalla linea tratteggiata verticale) questi coefficienti di trasferimento facevano sì che il modello (linea blu) rispecchiasse in modo molto fedele i valori riscontrati sul campo (linea arancio) per il numero di pazienti in Quarantena domiciliare, Ricoverati o in Terapia Intensiva:

Come si vede, però a partire da tale data questa fedeltà viene meno e anche in modo piuttosto brusco; abbiamo dovuto perciò inserire nel modello la possibilità di variare i coefficienti nel tempo. A partire dal 20 marzo perciò, il grafo viene rappresentato da questi valori:

i coefficienti a sfondo rosso sono DIMINUITI di molto, quelli a sfondo verde sono AUMENTATI di molto, gli altri hanno subito variazioni piccole o nulle

producendo una congruenza molto migliore tra simulazione e dati reali:

Come sempre lascio al lettore l’interpretazione del PERCHÉ sembrerebbe che vengano ricoverati molti meno pazienti di prima e si preferisca invece metterli in Quarantena domiciliare.

Concludo con l’ultimo grafico, quello della “provenienza” dei deceduti, che ovviamente si modifica così:

Provenienza dei decessi (in percentuale)
Provenienza dei decessi (in valore assoluto)

(*) Trovate a questi link gli episodi precedente della “Matematica” e della “Scatola“.

Dentro la scatola (2)

Qualche giorno fa vi ho presentato il grafo a 6 nodi che cerca di modellare in modo un po’ più sofisticato i flussi in ingresso, interni ed in uscita dal sistema Epidemia.

Nonostante la buona corrispondenza tra dato rilevato e dato simulato, mi sono reso conto che c’erano alcune incongruenze che non sarei riuscito a risolvere a meno di aggiungere altri punti di controllo; in questo weekend ne ho perciò messa a punto una versione un po’ più dettagliata che mi consente di verificare non solo i valori bordo ma anche tutti i quelli interni, ottenendo una matrice di coefficienti abbastanza diversa da quella precedente:

La corrispondenza con il dato storico diventa però molto buono su tutti i valori (in tutti i grafici la linea arancione sono i valori storici, la linea blu quelli ottenuti dal modello):

In particolare il modello fatica un po’ a seguire oscillazioni di breve periodo nei valori interni al grafo che potrebbero anche essere dovute ad imprecisioni nel reporting dei dati, ma su quelli di bordo (attivi, guariti e deceduti) il fit è quasi perfetto.

In particolare (ammesso che il modello sia corretto) siamo ora in grado di capire da dove provengono i Decessi giorno per giorno:

Contrariamente a quanto io stesso mi aspettavo, la stragrande maggioranza dei decessi proviene da Quarantena e Ricoveri e solo relativamente pochi dalla Terapia Intensiva. Come a dire che una maggior disponibilità di posti in T.I. diminuirebbero di molto la mortalità abnorme che stiamo riscontrando e della quale non ci si riesce a spiegare la ragione. così come non riusciamo a capire la ragione della minor mortalità riscontrata in Germania, un Paese che ha molti più posti in T.I. di noi, e della Lombardia in particolare.

Come al solito, non mi spingo oltre sull’interpretazione, lasciandola a chi ne capisce, ma tanto per cambiare sono rimasto sorpreso da quello che mi stanno dicendo i numeri…

Planet Earth 2.0

«O wonder! How beauteous mankind is! O brave new world that has such people in’t!»

(William ShakespeareLa tempesta, Act V, Scene I, v. 203–206)

We thought the outbreak was going to be a hiccup in the steady throb of life; we thought it’d be a missed beat that we would recover soon thereafter; we certainly did not think we were partaking in the End of the World.

Yet, that’s exactly what it was.

A tsunami, an earthquake, a terrible flood, locusts (a cookie for those who recognize the citation) wreak havoc on a specific area killing people, devastating land, destroying buildings and economic activities; even Ebola, the poor stupid virus which kills its hosts so fast it cannot spread, is but a local calamity. The process of rebuilding houses and factories rests its legs on the untouched rest of the world and easily primes the restarting of the great engine.

But this will be different: imagine the 16th century plague or smallpox outbreaks with today’s speed of movement and population density; imagine their stealth version which infects way before and even without sickening.

This rebuild is going to be bigger than anything we have seen in the history of the world, way bigger than post-war reconstructions or any natural disaster recovery simply because nobody will escape: China and Asia were first, then Europe, then America and the rest of the World. If epidemiologists are correct, Africa may escape due to a virus-hostile climate.

The stock market has already priced the loss of over a third of the world’s economy value even though the U.S. are beginning only now to feel the pinch.

DJIA at the close of mar 20, 2020

Those crying because their sector may be damaged beyond repair and lobbying governments for aid are not dissimilar to the passengers clambering to get at the top of the bridge when the whole ship is sinking.

For the first time in modern history, we’ll be rebooting our whole society, so the only intelligent question to ask is “How will Planet Earth 2.0 be different from the 1.0 version?”

Maybe it will be a younger world. the mortality curve steeply grows with age, so we can expect a significant portion of a generation to be wiped away. While the death toll is very unlikely to top the Holocaust, deaths will be far more concentrated in the 70+ age bracket, a concentration which is the flip side of what normally happens during a war, where the 20-40 yo generations pay the steepest human life price.

Maybe it will be a cleaner world. whether an association between particulate powders and virus diffusion is proved or not, the effect of the forced stop on air quality has been experienced already and it’s unlikely to go away when we emerge.

Maybe it will be a fairer world. perhaps this crisis has demonstrated the importance of universal public health systems, the importance of logistics and, before it will be over, the importance of not relying too much on technology. Maybe it will demonstrate that even the free-for-all social networks need policing, the importance of discipline, the trade-offs between profits, health and privacy.

Maybe it will be a more intelligent world. the demise of no-vax idiocy and perhaps also of the sovranist propaganda could spark a tendency to stop oversimplifying and favor an holistic vision of science rewarding those who dedicate their life to it. Populism fared very poorly in this crisis, flip-flopping on issues clearly proved they had no idea what to do. In the end, even flawed plans imperfectly executed proved to be better than no plan at all.

To be continued – Ce n’est qu’un début…..

La matematica al tempo del virus (settimana 4)

Questo è l’aggiornamento settimanale allo studio di funzione che ho iniziato il 6 marzo; anche questo post verrà aggiornato ogni giorno man mano che escono i dati.

Lo scopo di questa analisi è simile a quello dell’Analisi Tecnica (*) dell’andamento dei mercati finanziari, basato sulle teorie di Charles Dow un giornalista che all’inizio del Novecento scrisse sul WSJ una serie di articoli che illustravano una teoria basata sull’assunto che i prezzi dei titoli scontassero TUTTE le informazioni disponibili e che perciò obbedissero a cicli di comportamento che si ripetevano: studiando il loro andamento da un punto di vista puramente numerico – teorizzava Dow – era possibile riconoscere situazioni già presentatesi in passato e, dunque, prevedere in una certa misura il futuro. È questa la teoria che abbiamo preso in considerazione nello studio dell’andamento dei contagi, sperando (ed è – ripetiamolo ancora – una speranza un po’ stiracchiata) che l’andamento di una curva di accrescimento malthusiano a risorse finite possa descriverne la dinamica.

Tra il 10 e il 14 marzo si era instaurato un andamento oscillante tra un valore di supporto ed uno di resistenza crescenti allo stesso tasso (talvolta denominato “corridoio dinamico”) a cui erano seguiti quattro giorni di oscillazione attorno al valore di 3.500 nuovi contagi, che avevano fatto sperare che il grafico avesse trovato una resistenza attorno a questa quota, speranza cancellata dai giorni successivi.

26 marzo: non facciamoci spaventare dal numero di nuovi casi di oggi (6.123): l’andamento oscillante tra due livelli è tipico di una fase di resistenza ed infatti è ancora del tutto compatibile con la curva dei giorni scorsi; se domani o dopodomani questa “resistenza” intorno a 6.500 venisse infranta ovviamente dovremmo preoccuparci perché si instaurerebbe una nuova fase di crescita ma ad oggi non è così: l’asintoto resta a 160.000 casi e il flesso matematico è proprio domani. Anche il grafico dei decessi, che sembrava avviato verso una crescita esponenziale sembra aver raggiunto un plateau dal quale non si sta muovendo. In deciso calo i nuovi ricoveri in T.I. i cui valori massimi restano a 4.200 ricoveri totali (oggi siamo arrivati a 3.612) e un flesso che abbiamo superato il 17 marzo, anche se il valore massimo storico di nuovi ricoveri in T.I. è stato raggiunto il 19 con 249 pazienti.

25 marzo: siamo al quarto giorno nel quale i dati riscontrati sono in linea con la previsione del 21 marzo. Il numero di nuovi contagi è stato praticamente identico a quello di ieri (5.210) facendoci superare il numero totale di contagi avutisi in Cina; la mortalità resta molto alta: con i 683 di oggi siamo arrivati ad un totale di 7,503 decessi; crescono però di più le guarigioni, che con le oltre mille di oggi salgono a 9.362. Anche i ricoveri in T,I, continuano nella tendenza vista nei giorni scorsi; purtroppo il fatto che si debbano trasferire pazienti in T.I. fuori dalla Lombardia e addirittura fuori dall’Italia (in particolare verso la Germania) conferma che il sistema sanitario lombardo è ormai al collasso. Le curve logistiche di contagi e terapie intensive sono ancora valide senza modifiche.

24 marzo: anche il dato di oggi è tuttosommato coerente con una prospettiva di stabilizzazione; con 5.249 nuovi contagi, è superiore ai 4.789 di ieri ma non tanto da farci abbandonare il cauto ottimismo di ieri. La curva logistica resta perfettamente valida: ancora una volta stiamo sperando di essere finalmente arrivati alla zona di crescita lineare. Brusco calo invece per i nuovi ricoveri in Terapia Intensiva (solo 99) e come sempre ci dobbiamo domandare se sia un calo della richiesta o una saturazione delle disponibilità; anche in questo caso la curva logistica non richiede modifiche.

23 marzo: anche oggi riscontriamo un marcato calo dei nuovi contagi, che scendono a 4.789; scendono leggermente anche decessi (601) e guarigioni (408) mentre il numero di nuovi ricoveri in Terapia Intensiva (195) continua ad oscillare nella banda che ormai lo caratterizza da circa una settimana. Lieve ritocco (ma al ribasso!) per l’asintoto dei contagi che scende a 160.000 mentre la curva delle Terapie Intensive resta esattamente com’era ieri.

22 marzo: tiriamo finalmente un respiro: i nuovi contagi di oggi sono infatti ben 1.000 meno di quelli di ieri; è ovviamente troppo presto per anche solo sperare che si sia usciti dalla fase esponenziale, ma almeno dopo due giorni disastrosi non abbiamo dovuto ritoccare la curva che resta quella di ieri. Continuano di buon passo le guarigioni (quasi 1.000) e calano i decessi (651 contro quasi ottocento di ieri). Anche le terapie intensive aumentano di sole 152 unità (sperando sempre che non siano artificialmente limitate dalla saturazione del sistema ospedaliero).

21 marzo: purtroppo il bollettino di oggi continua ad essere drammatico: gli oltre 6.500 nuovi contagi e i quasi 800 decessi dicono che la curva che abbiamo modificato al rialzo solo ieri va nuovamente significativamente rivista. Il nuovo asintoto schizza a 180.000 casi con il picco che si sposta verso fine mese con un valore massimo di quasi 8,000 casi. Resta invece invariata la curva delle terapie intensive che sta crescendo grosso modo linearmente da cinque o sei giorni. Il dubbio è ovviamente che questa sia la capacità massima che il sistema ospedaliero riesce ad accogliere, non quelli di cui ci sarebbe bisogno.

Aggiornamento al 20 marzo 2020

La rottura della resistenza a 3.500 ha inaugurato un ciclo ascendente che ha richiesto una significativa ri-parametrazione della curva logistica il cui asintoto è collocato ora a circa 115.000 contagiati totali mentre il flesso si sposta ad inizio-metà di settimana prossima con un valore massimo di circa 5.800 casi giornalieri.

Anche a curva delle Terapie Intensive si sposta, anche se molto meno (oggi i nuovi ricoveri sono state di “soli” 157 pazienti) riportando l’asintoto al valore stimato il 6 marzo (4.200 pazienti totali) mentre il flesso ci sarebbe già stato. Ovviamente quest’ultima considerazione deve essere presa con molta cautela e ricordiamo che il fatto che l’incidenza dei ricoveri in T.I. continui a scendere potrebbe non essere altro che l’atroce conseguenza della saturazione dei letti disponibili.

Ricordiamo da ultimo che stiamo guardando il saldo totale di questo valore: dato che nella giornata vi sono stati 627 decessi (che a logica provengono in grandissima maggioranza pazienti in T.I.) i nuovi ricoveri totali sono stati 784 ovvero circa il 13% dei nuovi contagi, il che da una misura dello straordinario lavoro fatto da medici ed infermieri.


(*) A questo tipo di analisi si affianca l’Analisi Fondamentale, che invece esamina i parametri finanziari fondamentali dell’impresa sottostante il titolo; nel nostro parallelo, questo ruolo verrebbe giocato dall’Analisi Epidemiologica.

Tanti auguri, papi!

Oggi ti faccio gli auguri come i miei figli li fanno a me. Come sempre la nostra chiacchierata non ha molto senso se la dovessi trascrivere: chissà che ti frulla in testa, tra le tue allucinazioni e i frammenti impazziti di ricordi e frasi smozzicate.

E oggi tu e mamma festeggiate anche 64 anni di matrimonio, mica male !

Non mi capisci più ma so che ti fa piacere sentire la mia voce anche se ti fa ancora più piacere quando facciamo la nostra passeggiata quotidiana (beh, quasi) per andare a comprare il pane; e adesso invece ti devo spiegare mille volte che non si può, che è pericoloso uscire, che io non posso venire a trovarvi. Ogni tanto la badante ti porta a fare il giro del giardino davanti a casa, ma solo ogni tanto.

Come si spiega al malato di Alzheimer quasi cieco che non è stato rinchiuso in una RSA, che non è per quello che non vede i figli tutti i giorni? Ti ricordi quando a Capodanno ti ho accompagnato con mamma in albergo a Varazze? Siamo arrivati che era ora di pranzo, vi ho portato le valigie in camera e mentre stavate avviandovi verso la sala ristorante mi hai chiesto: “Ma tu non resti con noi?” perché tu l’albergo non lo vedevi e saresti potuto essere nella peggiore delle galere, c’è voluto il rumore del mare dal balcone per rassicurarti un po’.

Tuo papà sviluppò l’Alzheimer, tu anche e il prossimo sono io: siamo longevi ma diventiamo un po’ rimbambiti e mi domando se davvero avrò voglia di pagare questo prezzo per gli ultimi anni in più.

Ma oggi ti faccio gli auguri: tu non li hai capiti, ma valgono lo stesso.

Attivi vs. Contagiati

Mi è stato fatto notare che il mio commento di ieri, venato di ottimismo perché il numero di nuovi contagiati è grosso modo costante da quattro giorni, contrastava con il commento negativo del Ministero della Salute che lamentava una impennata nei casi attivi.

Vale la pena di spiegare come mai questi due commenti possano essere entrambi veri pur sembrando in contrasto.

Nuovi contagiati

Questo dato rappresenta (anzi, sarebbe meglio dire “approssima” visto che a sua volta dipende da quanti tamponi si fanno) la velocità di propagazione del virus. Alcuni di questi “nuovi contagiati” nel frattempo hanno già seguito l’intero decorso della malattia e ne sono usciti con esito fausto o infausto.

Il dato ci interessa perché finché questa velocità continua ad aumentare ci troviamo nella fase esponenziale della curva logistica; ad un certo punto smetterà di aumentare per diventare costante (ed è questa la fase nella cui spero siamo entrati) per poi cominciare a diminuire fino ad arrivare a zero.

In particolare, sta cominciando ad emergere un possibile collegamento tra la velocità di diffusione della malattia e la presenza nell’atmosfera di polveri sottili che sicuramente sarà oggetto di approfondimenti scientifici nei mesi a venire.

Contagiati attivi

Questo dato rappresenta coloro che sono entro il decorso della malattia e si calcola sottraendo dal precedente i malati guariti o, purtroppo, deceduti.

Anche questo dato ci interessa, perché rappresenta il carico che il Sistema Sanitario Nazionale deve sopportare; a sua volta, esso è suddiviso in pazienti in quarantena domiciliare, in pazienti ricoverati, ma in condizione non critica e pazienti in Terapia Intensiva, che è il dato più importante di tutti dal punto di vista sanitario: una sua previsione attendibile consente di pianificare interventi dove necessario per adeguare la disponibilità di posti in T.I. al numero presunto di ammalati.

Cosa può accelerare / rallentare guarigioni e morti.

Due esempi di fattori che possono variare la velocità con la quale i pazienti da Contagiati cessano di essere Attivi:

  • l’efficacia del trattamento farmacologico della polmonite interstiziale: è chiaro che se anziché affidarsi unicamente al sistema immunitario del paziente è possibile aiutarlo con una terapia farmacologica, come sta avvenendo in via sperimentale a Napoli con il Tocilizumab (contro l’artrite reumatoide) o a Genova il Remdesivir (contro l’ebola) , le sue chances di guarigione aumentano
  • la pre-esistenza di condizioni che indeboliscano il sistema immunitario paziente, rendendo la guarigione meno probabile

Dentro la scatola

Avendo trovato un errore nei calcoli, ho aggiornato questo post il 18 marzo; le maggiori differenze sono nei coefficienti della tabella

Da una decina di giorni cerco di analizzare da un punto di vista matematico la curva di crescita del contagio di Covid-19 in Italia, cercando di indovinare, solo in base ai numeri, quando sarà il flesso della curva, cioè quando il numero dei nuovi contagiati comincerà a scendere segnalando che l’epidemia è sotto controllo.

Ieri l’amico Stefano Bittante mi fa notare che in realtà il modello che ho costruito del fenomeno è un po’ troppo rozzo: stimare quanti malati necessiteranno di Terapia Intensiva sulla base di una semplice percentuale non tiene conto del fatto che in effetti alcuni di questi malati erano precedentemente in quarantena o ospedalizzati e sono peggiorati, mentre altri sono stati appena diagnosticati e lo stesso può dirsi di tutte le altri situazioni.

Bisogna, insomma, guardare dentro la scatola e analizzare meglio cosa succede; ho cercato perciò di costruire un modello un po’ più dettagliato, giungendo a questo schema:

Il grafo ha sei nodi: tre attivi e tre di bordo (input oppure output):

  • ATTIVI: T (terapia intensiva), Q (quarantena a casa propria), R (ricoverati in condizioni non critiche)
  • DI BORDO: C (contagiati), G (guariti), M (morti)

L’equazione che vedete al centro è la relazione fondamentale che governa il funzionamento del grafo:

In ogni giorno X il numero dei malati Attivi è uguale al numero degli Attivi del giorno prima X-1, più i nuovi Contagi, meno i Guariti ed i Morti.

Le frecce invece rappresentano i passaggi da un nodo all’altro (ad esempio un Contagiato deve necessariamente diventare Q, R o T) ma delle 36 transizioni possibili, solo 16 sono significative (ad esempio un Morto non può diventare Guarito); a ciascuna può essere perciò assegnata una probabilità, ottenendo questa tabella:

Per spiegare come si legge, consideriamo la colonna dei Contagiati: abbiamo ipotizzato che il 10% finisca subito in Terapia Intensiva, che il 25% venga Ricoverato e il rimanente 65% venga posto in Quarantena domiciliare (come si intuisce, il totale di ciascuna colonna deve fare 100%).

Consideriamo ora il nodo T: abbiamo immaginato che il 70% di chi è in T resti in T anche il giorno dopo, mentre il 10,5% esca dalla T.I. per rimanere in ospedale, il 14% guarisca e il 5,5% muoia.

I nodi R, Q e T sono perciò nodi attivi e hanno valori cumulativi (simboleggiati dal prefisso Σ); I nodi C, G e M sono nodi di bordo e hanno valori giornalieri: non si “entra” in C da nessun nodo, e da G o M non si “esce” verso nessun altro nodo.

Adesso possiamo applicare questi tassi di trasformazione e calcolare lo stato di tutto il sistema giorno per giorno (la procedura è tediosa per chi, come me, non è capace di usare le funzioni di calcolo matriciale offerte da Excel) ed in effetti i valori che trovate nella tabella sono il risultato di un po’ di tentativi per fittare al meglio i dati storici di cui siamo in possesso:

In ciascuna curva la linea continua è il dato calcolato, mentre quella tratteggiata o i quadratini sono i dati rilevati.

Cosa ci dice questo modello?

  • il tasso di mortalità è un po’ diverso del tasso “bruto” (morti/contagiati al 17/3 = 7,7%): in particolare è superiore al 10% tra i pazienti in T.I. ma è molto più bassi (0,5% e 1,5%) tra gli altri Attivi.
  • solo il 2% di chi è ospedalizzato e il 5% di chi è in quarantena peggiora: pochi ma non zero, dunque è essenziale rispettare la quarantena !!
  • questo modello prevede che si arrivi ad un massimo di ricoverati in T.I. di circa 3.000 ma ricordiamo che alla base c’è una ipotesi sull’andamento della curva dei Contagiati che abbiamo preso dal modello precedente: se quello dovesse essere smentito, anche questi valori dovranno essere rivisti.

È questo il modello più sofisticato che si possa sviluppare?

Ovviamente no, la realtà è sempre più complessa dei modelli; in questo caso l’approssimazione principale che abbiamo ammesso consiste nell’ipotizzare che i tassi di conversione (la tabella qui sopra) siano costanti nel tempo, cosa che non è vera: ad esempio potremmo diventare più bravi nel guarire i pazienti in T.I. (speriamo di sì) oppure il virus potrebbe mutare, diventando più letale (speriamo di no).

Da un punto di vista del modello, introdurre questa variabilità richiede calcoli matriciali molto più complessi e nei prossimi giorni vedrò se riesco a svilupparli.


P.S.: chi avesse voglia di pasticciare per suo conto con il file Excel ipotizzando tassi di transizione diversi può scaricarselo da qui

P.S. 2: grazie all’aiuto dell’amico Luigi Sergio, qui potete scaricare la versione con i calcoli fatti – molto più elegantemente – con le funzioni di calcolo matriciale di Excel (per fortuna i risultati sono gli stessi, whew !)

La matematica al tempo del virus (settimana 3)

Questo è l’aggiornamento settimanale allo studio di funzione che ho iniziato il 6 marzo; anche questo post verrà aggiornato ogni giorno man mano che escono i dati.

Un lettore mi ha segnalato ieri questa analisi del Governo simile nella forma, ma che arriva a conclusioni diverse (peggiori). Ci tengo a sottolineare che essa incorpora considerazioni epidemiologiche che io non sono in grado di fare. Ciononostante, spero che siano stati pessimisti!


19 marzo: bollettino da paura oggi: 5.300 nuovi casi, 425 morti e 240 pazienti in più in Terapia Intensiva. Direi che in tutta evidenza la curva va rivista bruscamente verso l’alto, con un asintoto che probabilmente supera i 100.000 casi – di questo passo superiamo la Cina e avremo oltre 500 morti al giorno. Anche la curva delle terapie intensive ha ripreso a crescere e ora posiziona l’asintoto nuovamente intorno ai 4,200 pazienti.

18 marzo: i nuovi contagi tornano a crescere più che nei giorni scorsi (+4.200 casi) ma gli scarti negativi accumulati rispetto al modello nei giorni scorsi fanno sì che per ora non siano necessari ritocchi alla curva che continua ad approssimare i punti con un fit eccellente (99,9%); anche i pazienti guariti hanno avuto oggi un’impennata dopo il valore molto basso di ieri (195). Stiamo perciò probabilmente recuperando dati giunti in ritardo da alcune regioni nella giornata di ieri. Non cresce invece il numero di ricoveri in Terapia Intensiva (197) che porta il totale a 2.257. Gli asintoti restano ai valori precedenti: 57.000 contagi totali e picco massimo di T.I di 3.700 pazienti.

17 marzo: continua la serie di dati allineati all’ultima curva logistica aggiornata il 14 marzo: i 3.500 nuovi contagi rilevati oggi ci consentono di continuare a sperare di essere arrivati nella zona lineare della curva di crescita con il flesso ormai alle spalle avendone confermate le previsioni [“massimo al 16 marzo con 3.400 nuovi casi”]. Continua a preoccupare l’elevato numero di decessi e, oggi, anche l’alto numero di ricoveri in T.I. (+209, il valore più alto dall’inizio dell’epidemia) anche se il tasso di incidenza sul totale contagiati continua a scendere quasi in linea retta dal 11,8% del 7 marzo al 7,9% di oggi.

16 marzo: anche oggi i valori sono simili con 3.200 nuovi casi (siamo forse arrivati alla sezione lineare della logistica ?!?), 349 morti e 414 guariti. Non commenterò più la mortalità, perché ho sviluppato una analisi più dettagliata che trovate qui. Anche sul fronte T.I. sembra si sia raggiunto il picco: ormai da sei giorni il numero di nuovi ricoveri in T.I. oscilla tra 120 e 190: è un range un po’ ampio, ma sussistono dubbi sulla precisione assoluta di questi numeri, dunque possiamo permetterci un cautissimo ottimismo

15 marzo: il bollettino di oggi è simile a quello di ieri: circa 3.600 (solo un centinaio più di ieri); ovviamente ogni volta che il numero di nuovi casi sembra appiattirsi speriamo di essere arrivati alla fase lineare della logistica, ma due soli punti non sono sufficienti a confermare il trend, dunque bisognerà vedere come vanno i prossimi giorni. Complessivamente la curva si modifica poco: sale un poco l’asintoto (58.000 contro i 55.000 di ieri) e non si sposta il flesso. Purtroppo cresce parecchio il numero di decessi (368) riportando il tasso di mortalità al 7,3%. Per contro cala ancora il numero dei nuovi ricoveri in Terapia Intensiva: solo 154 contro i 190 di ieri. Anche questa curva dovrebbe attraversare il flesso nei prossimi giorni.

14 marzo: bollettino con un mix di notizie buone e notizie cattive: sono quasi ben 3.500 i nuovi contagi, ma “solo” 175 i decessi odierni (erano stati 250 ieri), il che ha fatto ritornare l’indice di mortalità sotto il 7%; purtroppo il dato sui contagi spinge in alto l’asintoto (ora collocati a 55.000 casi totali e in avanti il flesso (16 marzo con 3.400 nuovi casi). Sono 190 invece i nuovi pazienti in terapia intensiva: il totale supera 1.500 ma il tasso sul numero di contagiati scende per il quarto giorno consecutivo; questa curva sposta in alto l’asintoto (4.000) e indietro il flesso (16 marzo).

Aggiornamento al 13 marzo 2020

Purtroppo nel corso degli ultimi giorni è stato necessario ritoccare la curva logistica (linea blu) che interpola i dati storici dei contagiati totali (*) (punti blu) con un R2 > 99,9%: l’illusione di aver raggiunto il massimo nel numero di nuovi contagiati giornalieri che si stava cominciando a formare a causa di quattro giorni in cui erano oscillati tra 1,500 e 1.700 è stata spazzata via dagli oltre cinquemila nuovi contagiati in due giorni.

Il numero totale dei casi previsti adesso arriva a 40.000, con il flesso della curva collocato al 14 marzo, con circa 2,500 nuovi contagiati. Ricordiamo che al tasso di mortalità attuale (che continua ad aumentare, oggi ha superato il 7%), questo numero di contagiati potrebbe comportare quasi 3.000 vittime!

È opportuno ricordare che una interpolazione e successiva estrapolazione di un insieme di punti consente di individuare tendenze piuttosto che fare previsioni puntuali su singoli valori: quando perciò faccio una stima sul “valore massimo” mi riferisco alla curva e non ai singoli punti che potranno oscillare attorno a questo valore più probabile.

Purtroppo stiamo probabilmente scontando la superficialità con cui molti Italiani hanno reagito una settimana fa alle notizie che cominciavano a giungere dalla “zona rossa”.

Ho anche modificato il grafico in modo da evidenziare la derivata prima della curva (linea arancio) che rappresenta il numero di nuovi casi giornalieri, il cui dato storico è rappresentato dai punti arancio.

Qui il fit tra punti e curva è un po’ meno buono (circa il 94%), ma tutto sommato ancora accettabile: il massimo della derivata (corrispondente al flesso della logistica) si colloca intorno ai 2.500 nuovi casi giornalieri e da lì comincerebbe a scendere, il che sarebbe una notizia straordinaria perché vorrebbe dire che avremmo superato il momento più critico e dobbiamo insistere nel rispettare le misure restrittive che stanno funzionando !!

La situazione per quanto riguarda i pazienti in Terapia Intensiva è simile, anche se traslata di qualche giorno: il flesso infatti non arriva che al 17-18 marzo con un valore massimo di circa 3.500 pazienti in TI.

Qui il fit è molto meno buono (circa 84%), ma il curioso andamento “a coppie” mi fa sospettare che non sempre i dati siano affidabilissimi, più che comprensibile data la situazione.

Il fatto che aumentino però – paradossalmente – è una buona notizia perché significa che in qualche modo si è riusciti a far fronte all’emergenza, soprattutto in Lombardia dove ne sono concentrati così tanti.

Quando questa brutta avventura sarà finita speriamo che chi governa il Paese si renda conto di quanto sia importante il Sistema Sanitario Nazionale e lo si renda una priorità assoluta.


(*) Contagiati totali = contagiati attivi + guariti + deceduti

Quarantine living: practical lessons

We have been in lockdown for almost three weeks, now: the first was voluntary, then it was mandated by the Government, so we’re a little bit ahead of the rest of the world when it comes to practical lessons we learned.

Obviously, this is not meant to replace all the stuff they’re telling you right now: stay at home, wash your hands, etc. but it adds to that a few survival tips:

  1. shops will close. Not at first, but eventually they will. Supermarkets will stay open, but you’ll likely have to line outside waiting for your turn, and that does not strike me as the best way to avoid contact. Shopping online is a good alternative, but sites will buckle under 50x or 100x traffic. So wherever possible, while they are still online, try to set up repeat weekly orders for your food/produce/groceries.
  2. the Internet will slow down, everywhere, under the weight of millions of people on Netflix 24/7; as a backup, stock up on DVDs, esp. if you have children. Also a couple of boxes of books might be a good idea: sadly, you’re not likely to find crowds at bookstores.
  3. Also useful if you have kids, buy a couple of new board games. Believe me, you’ll thank me afterwards.

Hang tough, hopefully it will be only a month or so, but it will feel like eternity.

No, io non sono ottimista

Vorrei chiarire: da qualche giorno pubblico uno studio di funzione (ve li ricordate?) dell’andamento dell’epidemia in Italia che ho chiamato Ottimismo Razionale, ma io non sono ottimista, perché l’efficacia delle misure restrittive non accompagnate da coprifuoco e legge marziale dipende dal senso civico degli Italiani.

Quelli che “duecento senza fattura, duecentocinquanta con”.

Quelli che sorpassano sulla corsia di emergenza.

Quelli che non fanno le code.

Quelli che non pagano il biglietto.

Quelli che è tutta colpa dei negri.

I falsi invalidi.

Quelli che “si informano” su Wikipedia.

Quelli che buttano la monnezza dove gli capita.

Da tanto dico che siamo un popolo ignorante ed egoista dove il marciume fermenta da secoli, forse millenni: ecco, ora è arrivata la disinfestazione, e saranno proprio egoismo ed ignoranza ad alimentare l’incendio che ci consumerà; dopo, finalmente il Paese più bello del mondo potrà ripartire con gente migliore di noi.

No, io non sono ottimista.